🎯 बोर्ड परीक्षा स्पेशल: त्रिकोणमिति प्रश्नावली 1.1 के 5 जरूरी सवाल (UP High School Math)
त्रिकोणमिति – अध्याय 1 (कक्षा 10वीं गणित, हिंदी मीडियम)
परिचय:
त्रिकोणमिति दो शब्दों से मिलकर बना है - "त्रि" यानी तीन और "कोण" यानी एंगल। इसका अर्थ है – तीन कोणों वाले आकार (त्रिभुज) में कोण और भुजाओं के बीच संबंध का अध्ययन। यह एक बहुत ही मजेदार और काम की टॉपिक है, खासकर तब जब आप 10वीं कक्षा की बोर्ड परीक्षा या प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी कर रहे हों।
📌 मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
- साइन (sin)
- कॉस (cos)
- टैन (tan)
- कोसेक (cosec)
- सेक (sec)
- कॉट (cot)
🔢 सूत्र (Formulas):
मान लो कि एक समकोण त्रिभुज में,
- θ = कोण
- √ = वर्गमूल
- विकर्ण = कर्ण (Hypotenuse),
- आधार = Base,
- लंब = Perpendicular
- sin θ = लंब / कर्ण
- cos θ = आधार / कर्ण
- tan θ = लंब / आधार
- cot θ = आधार / लंब = 1 / tan θ
- sec θ = कर्ण / आधार = 1 / cos θ
- cosec θ = कर्ण / लंब = 1 / sin θ
📊 मानों की तालिका (Trigonometric Ratios Table):
| θ (डिग्री) | sin θ | cos θ | tan θ | cosec θ | sec θ | cot θ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ | 0 |
📘 प्रश्नावली 1.1 से उदाहरण (Class 10th Trigonometry Exercise 1.1)
उदाहरण 1:
यदि sin A = 3/5 है, और कोण A समकोण त्रिभुज में है, तो cos A और tan A का मान निकालिए।
समाधान:sin A = लंब / कर्ण = 3/5
⇒ त्रिभुज का लंब = 3, कर्ण = 5
⇒ आधार = √(कर्ण² - लंब²) = √(25 - 9) = √16 = 4
अब,
- cos A = आधार / कर्ण = 4 / 5
- tan A = लंब / आधार = 3 / 4
उदाहरण 2:
यदि tan θ = 1, तो θ का मान क्या होगा?
उत्तर: tan θ = 1 होता है जब θ = 45°👉 इसलिए, θ = 45° ✔️
📝 अभ्यास के लिए प्रश्न:
- यदि cos A = 4/5, तो sin A और tan A ज्ञात कीजिए।
- यदि एक समकोण त्रिभुज में लंब = 6 cm और आधार = 8 cm है, तो sin θ, cos θ और tan θ निकालिए।
- tan θ = √3 है, तो θ का मान क्या होगा?
- यदि sin A = 5/13, तो cos A और tan A का मान ज्ञात करें।
📚 निष्कर्ष:
त्रिकोणमिति गणित का वो भाग है जो आपको एंगल और लंबाई की दुनिया में ले जाता है। इसके सूत्र याद रखना जरूरी है, लेकिन उससे भी जरूरी है उन्हें सही जगह इस्तेमाल करना सीखना। शुरुआत में थोड़ा कठिन लग सकता है लेकिन रोज़ाना प्रैक्टिस से सब आसान हो जाएगा।
🔔 सुझाव: रोजाना एक नया सवाल हल करें, और ट्रिग्नोमेट्री टेबल को याद रखें, खासतौर पर 0°, 30°, 45°, 60°, 90° वाले मान।
➡️ अगले लेशन में हम जानेंगे त्रिकोणमितीय पहचान (Identities) और उनका उपयोग!
कुछ सवाल जिनके जवाब जानना जरूरी है ।।
हिंदी मीडियम त्रिकोणमिति – प्रश्नावली 1.1 (हल सहित)
ब्रांड: Shivam90.in | बोर्ड: उत्तर प्रदेश माध्यमिक शिक्षा परिषद्
प्रश्न 1:
यदि sin A = 3/5, तो cos A और tan A का मान निकालिए।
हल:
- sin A = लंब / कर्ण = 3/5
- तो, लंब = 3 और कर्ण = 5
- ⇒ आधार = √(कर्ण² - लंब²) = √(25 - 9) = √16 = 4
- अब, cos A = आधार / कर्ण = 4 / 5
- tan A = लंब / आधार = 3 / 4
प्रश्न 2:
यदि tan θ = 1/√3, तो sin θ और cos θ ज्ञात कीजिए।
हल:
- tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30° (टेबल से)
- sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2
प्रश्न 3:
यदि sec θ = 13/5, तो tan θ और sin θ ज्ञात कीजिए।
हल:
- sec θ = कर्ण / आधार = 13 / 5
- ⇒ कर्ण = 13, आधार = 5
- ⇒ लंब = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12
- अब, tan θ = लंब / आधार = 12 / 5
- sin θ = लंब / कर्ण = 12 / 13
प्रश्न 4:
एक समकोण त्रिभुज में लंब = 7 सेमी और आधार = 24 सेमी है। त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
- कर्ण = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25
- sin θ = लंब / कर्ण = 7 / 25
- cos θ = आधार / कर्ण = 24 / 25
- tan θ = लंब / आधार = 7 / 24
प्रश्न 5:
यदि cot A = 5/12, तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
- cot A = आधार / लंब = 5 / 12
- ⇒ आधार = 5, लंब = 12
- ⇒ कर्ण = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
- sin A = लंब / कर्ण = 12 / 13
- sec A = कर्ण / आधार = 13 / 5
👉 ये सभी प्रश्न उत्तर प्रदेश बोर्ड की तैयारी के लिए बहुत उपयोगी हैं।
🖊️ अभ्यास करें – सफलता पाएं!
📌 स्रोत: Shivam90.in